FONDEMENT POUR UN ENSEIGNEMENT DE L'ANALYSE EN TERMES D'ORDRES DE GRANDEUR : Les réels dévoilés

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L'ouvrage propose des fondements logiques et didactiques en vue d'un enseignement alternatif de l'analyse dans les classes de lycée et au début du premier cycle universitaire", déclarent les auteurs.
Ce livre se situe dans le cadre appelé aussi "analyse non-standard", en développant le langage ZFE. Le texte, constitué d'un cours et d'exercices résolus, ne cherche pas à simplifier et vise une information des professeurs de mathématiques pour permettre un débat de fond sur les problèmes didactiques posés par l'enseignement de l'analyse. A travers cet ouvrage les auteurs proposent une piste pour permettre de résoudre ces problèmes.

"Le texte principal est divisé en quatre grandes parties. En (A) on ne parle que de nombres en utilisant une formalisation aussi rudimentaire que possible des ordres de grandeur, et pourtant les résultats que l'on obtient couvrent l'essentiel de l'analyse concernant les fonctions explicites. En (B) on introduit une formalisation plus ambitieuse, celle d'objet mathématique explicite dont un sous-produit essentiel est la notion d'ombre d'un nombre réel. On l'applique en (C) à la notion de limite d'une suite de nombres réels, en commençant par une notion covariante en terme d'ordres de grandeur, que l'on a déjà expérimenté en(A), et en aboutissant à la définition contravariante classique de Cauchy et Weierstrass. Enfin en (D) on traite dans le même esprit les questions liées aux limites de fonctions : continuité, dérivabilité, calcul différentiel et intégral. On commence toujours par la définition covariante, puis, après en avoir illustré l'économie, on montre en quoi elle équivaut à la définition classique de la même notion.